Kalkulus

Bilangan Real Nilai Absolut Fungsi
Pengertian fungsi Fungsi Linear Operasi pada fungsi Fungsi Komposisi Fungsi Pangkat Polinom Fungsi Rasional Tes Formatif
Limit fungsi
Limit fungsi Identitas trigonometri Limit fungsi trigonometri
Derivatif
Defnisi turunan Turunan fungsi polinom Metode substitusi Kemiringan garing singgung
Fungsi Trigonometri
Identitas trigonometri Limit fungsi trigonometri Tes Formatif
Fungsi Eksponen
Pengertian Sifat-sifat Tes Formatif
Integral
Integral tertentu Teorema dasar integral Metode integrasi Luas daerah

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri yang pernah dipelajari di sekolah lanuutan akan digunakan untuk mempelajari topik selanjutnya. Oleh karena itu perlu disampaikan kembali. Hubungan antara sistem koordinat cartesius dan koordinat kutub dapat dicari dengan bantuan gambar di samping. Persamaan $\cos{\theta}=\frac{x}{r}$ dapat dituliskankan menjadi $x = r \cos{\theta}$, demikian pula $\sin{\theta}=\frac{y}{r}$ dapat dituliskan menjadi $y = r \sin{\theta}$. Oleh karena itu diperoleh:

\begin{equation} \begin{array}{lll} x= r \cos{\theta}\\ y=r \sin{\theta}\\ \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\\ \end{array} \label{rcos} \end{equation}
\begin{equation*} \begin{array}{lllll} \sin(-\theta)=-\sin \theta&\quad&\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta \quad &\sin(\pi-\theta)=\sin \theta\\ \cos(-\theta)=\cos \theta&\quad&\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta \quad &\cos(\pi-\theta)=-\cos \theta\\ \tan(-\theta)=-\tan \theta &\quad & \tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot \theta\\ \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{lll} \sin^2\theta+\cos^2 \theta=1&\quad&\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ 1+\tan^2\theta=sec^2\theta&\quad&\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta\\ 1+\cot^2\theta=csc^2\theta&\quad&\displaystyle \tan(\alpha +\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\\ \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{lllll} \sin 2\theta&=2\sin \theta \cos \theta&\quad&\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}\\ \cos 2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta &\quad &\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}\\ &=2\cos^2\theta-1\\ &=1-2\sin^2\theta \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{lll} \sin \alpha+\sin \beta=2\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\\ \cos \alpha +\cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{lll} \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta))\\ \cos \alpha \cos \beta=-\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))\\ \sin \alpha \cos \beta=-\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)) \end{array} \end{equation*}

Limit Fungsi $\sin$, $\cos$ dan $tan$

Gambar di samping adalah bagian dari lingkaran dengan jari-jari $1$. Garis $OC$ membentuk sudut $\theta$ terhadap sumbu horisontal. Panjang tali busur $BC$ adalah $\theta \cdot r=\theta \cdot 1 = \theta$.
Dari Gambar tersebut jelas bahwa \[ 0 \le \frac{\text{ panjang } AC}{r} \le \frac{\text{ panjang tali busur } BC}{r}.\] Karena $r=1$, ini berarti \[ 0 \le \sin \theta \le \theta.\]

Jika ketaksamaan ini dikali $-1$ maka diperoleh \[-\theta \le -\sin{\theta} \le \sin{\theta}.\] Dengan demikian \[-\theta \le \sin{\theta} \le \theta. \] Perhatikan bahwa $\theta \to 0$ jika dan hanya jika $-\theta \to 0$, oleh karena itu berlaku sifat berikut.

\begin{equation} \label{limsin0} \lim \limits_{\theta \to 0} \sin{\theta}=0. \end{equation}

Selanjutnya dari identitas \[ \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\] diperoleh \[ \cos{\theta}=\sqrt{\sin^2{\theta}-1}.\] Oleh karena itu, \[\lim \limits_{\theta \to 0} \cos{\theta}= \lim \limits_{\theta \to 0} \sqrt{1-\sin^2{\theta}}=\sqrt{1-0}=1,\]

\begin{equation} \lim \limits_{\theta \to 0} \cos{\theta}=1. \label{limcos0} \end{equation}

Untuk mencari limit fungsi $\sin{\theta}$ dan $\cos{\theta}$ jika $\theta \to c$ dapat dikerjakan sebagai berikut. Dituliskan \[ h=\theta-c.\] Jelas bahwa $h \to 0$ jika dan hanya jika $\theta \to c$. Karena \[ \sin{\theta} = \sin{(c+h)}=\sin{c}\cos{h}+\cos{c}\sin{h}, \] maka berdasakan \ref{limsin0} dan \ref{limcos0}, \begin{array}{ll} \lim \limits_{\theta \to c} \sin{\theta}&= \lim \limits_{h \to 0} \sin{(c+h)}\\ &= \lim \limits_{h \to 0} \left( \sin{c}\cos{h}+\cos{c}\sin{h}\right)\\ &= \sin{c}\ \lim \limits_{h \to 0} cos{h}+\cos{c} \lim \limits_{h \to 0} \sin{h}\\ &=\sin{c}\cdot 1 + \cos{c}\cdot 0\\ &=\sin{c}, \end{array}

sehingga diperoleh
\begin{equation} \label{limsinc} \lim \limits_{\theta \to c} \sin{\theta}=\sin{c}. \end{equation}

Berdasarkan \ref{limsinc}, \begin{eqnarray*} \lim \limits_{\theta \to c} \cos{\theta} &=& \lim \limits_{\theta \to c} \sqrt{1-\sin^2{\theta}}\\ &=& \sqrt{1-\sin^2{\theta}}\\ &=& \cos{c}. \end{eqnarray*}

\begin{equation} \label{limcosc} \lim \limits_{\theta \to c} \cos{\theta}=\cos{c}. \end{equation}

Limit fungsi trigonometri lainya dapat dicari yang hasilnya diringkaskan sebagai berikut.

\begin{array}{lllll} (1) & \lim \limits_{\theta \to c} \sin{\theta}=\sin{c} \qquad \qquad \qquad &(2) & \lim \limits_{\theta \to c} \cos{\theta}=\cos{c}\\ (3) & \lim \limits_{\theta \to c} \tan{\theta}=\tan{c}\qquad \qquad \qquad &(4) & \lim \limits_{\theta \to c} \cot{\theta}=\cot{c}\\ (5) & \lim \limits_{\theta \to c} \sec{\theta}=\sec{c} \qquad \qquad \qquad &(6) & \lim \limits_{\theta \to c} \csc{\theta}=\csc{c}\\ \end{array}
CONTOH

Limit $\lim \limits_{\theta \to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}$

Gambar di samping adalah serempat lingkaran berjari-jari $1$, sudut $\theta$ dalam radian. Segitiga $BOC$ berada di dalam sektor $BOC$ dan sektor $BOC$ berada di dalam segitiga $BOD$. \begin{array}{ll} \textnormal{Luas segitiga } BOC &= \frac{1}{2}\: alas \times tinggi = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin{\theta}=\frac{1}{2} \cdot \sin{\theta}\\ \textnormal{Luas sektor } BOC& = \frac{1}{2} \theta \cdot r^2 = \frac{\theta}{2}\\ \textnormal{Luas segitiga } BOD &= \frac{1}{2}\: alas \times tinggi = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \tan{\theta}= \frac{1}{2} \tan{\theta}\\ \end{array}

Berdasarkan gambar tersebut jelas bahwa \[ \textnormal{Luas segitiga } \: BOC \leq \textnormal{Luas sektor } BOC \leq \textnormal{Luas segitiga } BOD \] atau \[ \frac{1}{2} \sin{\theta} \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{1}{2} \tan{\theta} \] Karena $\tan{\theta}= \sin{\theta}/\cos{\theta}$, maka \[ \frac{1}{2} \sin{\theta} \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{\sin{\theta}}{2\cos{\theta}} \] Jika ketiga ruas dibagi $\frac{1}{2}\sin{\theta}$, maka diperoleh \[ 1 \leq \frac{\theta}{\sin{\theta}} \leq \frac{1}{\cos{\theta}} \] atau \[ \cos{\theta} \leq \frac{\sin{\theta}}{\theta} \leq 1. \] Jika $\theta$ mendekati $0$, maka \[ \lim \limits_{\theta \to 0} \cos{\theta} \leq \lim \limits_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} \leq \lim \limits_{\theta \to 0} 1 \] Karena $\lim \limits_{\theta \to 0} \cos{\theta}=1$, maka diperoleh \[ 1 \leq \lim \limits_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} \leq 1. \]

\begin{equation} \lim \limits_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} = 1. \label{lim:sin} \end{equation}
CONTOH \[ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin{5 x}}{x}= \lim \limits_{x \to 0} \frac{5 \sin{5x}}{5x}= 5 \lim \limits_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta}= 5. \]

Dari identitas $\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$ diperoleh \[ \sin^2{\theta}=1-\cos^2{\theta}= (1-\cos{\theta})(1+\cos{\theta}). \] Jika $\theta $ mendekati $0$, maka \[ \begin{array}{ll} \displaystyle \lim \limits_{\theta \to 0} \frac{1-\cos{\theta}}{\theta} &= \displaystyle \lim \limits_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin{\theta}}{\theta} \cdot \frac{\sin{\theta}}{(1+\cos{\theta})}\right)\\ &=\displaystyle \lim \limits_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} \cdot \frac{\lim \limits_{\theta \to 0} \sin{\theta}}{(1+ \lim \limits_{\theta \to 0} \cos{\theta})}\\ &=\displaystyle 1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0. \end{array} \]

\begin{equation} \lim \limits_{\theta \to 0} \frac{1-\cos{\theta}}{\theta}=0. \label{lim:cos} \end{equation}

CONTOH Hitunglah $\displaystyle \lim \limits_{t \to 0}\frac{1-\cos{t}}{\sin{t}}$.
PENYELESIAN \[ \lim \limits_{t \to 0}\frac{1-\cos{t}}{\sin{t}}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\frac{1-\cos{t}}{t}}{\frac{\sin{t}}{t}} =\frac{\lim \limits_{t \to 0}\frac{1-\cos{t}}{t}}{\lim \limits_{t \to 0}\frac{\sin{t}}{t}}=\frac{0}{1}=0. \]

Tes formatif

Pilih satu jawaban yang benar.

Fungsi $f(x)$ berikut yang memenuhi $\lim_{\theta \to \pi/3} f(x) =1$, adalah

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin{7t}}{t}=\cdots = 7$. Bagian $\dots$ paling tepat diisi

Fungsi $f(t)$ berikut sehingga $\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t}=\frac{1}{3}$ adalah

Jika $\cos{t}=-b$, maka $\cos{(-t)}=\cdots = -b$. Bagian $\cdots$ paling tepat diisi

$\lim_{t \to 1} \frac{\sin{(t-1)}}{(t^2-1)}=\cdots =1/2$. Bagiam $\cdots$ paling tepat diisi