Determinan
Perhatikan sistem persamaan linear berikut,
\begin{alignat*}{5}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\\
\end{alignat*}
Diasumsikan sistem persamaan linear tersebut memiliki penyelesaian. Untuk mencari penyelesaiannya, dieliminasi terlebih dahulu variabel $x_2$ dengan cara mengalikan persamaan pertama dengan $a_{22}$ dan mengalikan persamaan kedua dengan $a_{12}$, kemudian mengurangkannya,
\[
\begin{array}{lrrrll}
a_{22}B1 : &a_{11} a_{22}x_1&+&a_{12}a_{22}x_2&=&b_1 a_{22}\\
a_{12}B2 : &a_{12}a_{21}x_1&+&a_{12}a_{22}x_2&=&b_2 a_{12}\\
\hline
a_{22}B1-a_{21}B2: &a_{11} a_{22}x_1&-&a_{12}a_{21}x_1 &=& b_1 a_{22}- b_2 a_{12} \\
\end{array}
\]
Dari baris terakhir diperoleh penyelesaian untuk $x_1$, yaitu
\[ x_1 = \frac{ b_1 a_{22}- b_2 a_{12}}{a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}}\]
Dengan cara serupa, diperoleh penyelesaian untuk $x_2$, yaitu
\[ x_2 = \frac{ b_2 a_{11}- b_1 a_{21}}{a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}}.\]
Tampak bahwa pembilang maupun penyebut pada penyelesaian sistem persamaan linear tersebut merupakan seilisih hasil kali koefisien-koefisien pada matrik $AX=B$.
Determinan suatu matriks bujur sangkar $A$ dituliskan $\det{A}$ atau $|A|$.
Determinan matriks orde 2,
\begin{alignat*}{4}
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
didefinisikan
\begin{alignat*}{4}
\det(A)=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
\end{alignat*}
CONTOH.
Determinan matriks
\begin{alignat*}{4}
A=
\begin{bmatrix}
2&4\\
-1&3
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
adalah
\[
\det(A) =
\begin{vmatrix}
2&4\\
-1&3
\end{vmatrix}
= 2\cdot 3 - 4 \cdot (-1) =10.
\]
Determinan matriks orde 3
\begin{alignat*}{4}
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
didefinisikan
\begin{alignat*}{4}
\det(A)=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}
-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{33}a_{12}a_{21}
\end{alignat*}
Skema berikut dapat digunakan untuk membantu mengingat rumus determinan matriks orde 2 dan orde 3.
CONTOH.
Determinan matriks
\begin{alignat*}{4}
B=
\begin{bmatrix}
2&2&6\\
4&4&3\\
0&-3&5
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
adalah
\[
\det(B) =
\begin{vmatrix}
2&2&6\\
4&4&3\\
0&-3&5\\
\end{vmatrix}
= 2\cdot 4 \cdot 5 + 2\cdot3\cdot0+6\cdot4\cdot(-3) - 2\cdot3\cdot(-3)-2\cdot4\cdot5-6\cdot4\cdot0=-54.
\]
Sifat-sifat determinan
SIFAT
- Jika suatu matriks bujur sangkar memiliki dua baris atau kolom yang sebanding, maka determinannya $0$.
- Jika suatu matriks bujur sangkar memiliki baris atau kolom yang semua unsurnya $0$, maka determinannya adalah $0$.
CONTOH.
- Perhatikan matriks berikut,
\begin{alignat*}{4}
A=
\begin{bmatrix}
1&-2&3\\
5 & 7 & 3 \\
\frac{1}{2}&-1&\frac{3}{2}\\
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Matriks $A$ memiliki dua baris yang sebanding, yaitu baris pertama kelipatan 2 dari baris ketiga, oleh karena itu determinannya adalah $0$.
- Matriks
\begin{alignat*}{4}
C=
\begin{bmatrix}
1&0&3\\
5 & 0 & 3 \\
\frac{1}{2}&0&\frac{3}{2}\\
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
memiliki kolom ke 2 yang setiap unsurnya $0$, oleh karena itu determinan matriks $C$ adalah $0$.
SIFAT
- Matriks segitiga adalah matriks yang semua entri di atas atau di bawah diagonal utamanya $0$.
- Determinan matriks segitiga sama dengan hasil perkalian unsur-unsur pada diagonal utamanya.
CONTOH.
Matriks berikut merupakan matriks segitiga.
\begin{alignat*}{4}
A=
\begin{bmatrix}
1&9&3\\
0 & -2 &2\\
0&0&17
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Oleh karena itu determinan matriks ini sama dengan perkalian unsur-unsur pada diagonal utamanya, yaitu
\begin{alignat*}{4}
det(A)=
\begin{vmatrix}
1&9&3\\
0 & -2 &2\\
0&0&17
\end{vmatrix}
= 1 \cdot (-2) \cdot 17 = -34
\end{alignat*}
SIFAT
Determinan matriks jika dikenai operasi baris elementer adalah sebagai berikut:
-
Jika matriks $\mathbf{B}$ diperoleh dengan cara mengalikan suatu baris atau suatu kolom matriks $\mathbf{A}=$ dengan konstanta $k$, maka
\[ \det{B}=k \det{A} \]
- Jika matriks $\mathbf{B}$ diperoleh dengan cara menukar dua baris atau kolom matriks $\mathbf{A}$, maka
\[ \det{B} = -\det{A} \]
- Jika matriks $\mathbf{B}$ diperoleh dengan cara menambahkan kelipatan suatu baris (kolom) ke baris (kolom) lainnya, maka
\[\det{B}=\det{A} \]
CONTOH.
Diketahui
\begin{alignat*}{4}
A=
\begin{bmatrix}
1&-2\\
3&1\\
\end{bmatrix}
\qquad \text{dan} \qquad
B=
\begin{bmatrix}
4&-8\\
3&1\\
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Perhatikan bahwa matriks $\mathbf{B}$ diperoleh dengan cara mengalikan baris pertama matriks dengan bilangan $4$. Oleh karena itu
\begin{alignat*}{4}
\det{B}=
4\cdot \det(A)
&
=4
\begin{vmatrix}
1&-2\\
3&1\\
\end{vmatrix}
&
=4\cdot 7=28
\end{alignat*}
Pengaruh operasi baris elementer terhadap sifat determinan ini sering digunakan untuk membantu mencari determinan.
Seperti contoh berikut, operasi baris elementer digunakan untuk merubah matriks asal menjadi matriks segitiga.
CONTOH.
Carilah determinan matriks
\begin{alignat*}{4}
A=
\begin{bmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&1\\
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
PENYELESAIAN.
Dengan operasi baris elementer dan menggunakan sifat di atas,
\begin{alignat*}{4}
\det{A}&=
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&1\\
\end{vmatrix}
\\ \\
&=
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
0&-3&-6\\
0&-6&-20\\
\end{vmatrix}
\\ \\
&
=(-3)
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
0&1&2\\
0&-6&-20\\
\end{vmatrix} \\ \\
& =(-3)
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
0&1&2\\
0&0&-8\\
\end{vmatrix} \\ \\
&
=(-3)\cdot 1 \cdot 1 \cdot (-8) = 24.
\end{alignat*}
Adjoin
Diketahui Matriks
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}&\cdots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}&\cdots &a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2}& \cdots &a_{mn}
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Tranpos matriks $A$ dituliskan $A^T$, didefinisikan
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}^T=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21}&\cdots &a_{m1} \\
a_{12} & a_{22}&\cdots &a_{m2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots &a_{nm}
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Dengan demikian $\mathbf{A}^T$ adalah matriks yang dihasilkan dengan cara merubah baris-baris matriks $\mathbf{A}$ menjadi kolom-kolom.
CONTOH
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
2&2&6\\
4&4&3\\
0&-3&5
\end{bmatrix}
\qquad
\mathbf{B}=
\begin{bmatrix}
1&-2&3\\
5 & 7 & 3
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Tranpos matriks $A$ dan $B$ adalah
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}^T=
\begin{bmatrix}
2&4&0\\
2&4&-3\\
6&3&5
\end{bmatrix}
\qquad
\mathbf{B}^T=
\begin{bmatrix}
1&5\\
-2&7\\
3&3
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Diketahui $A$ matriks orde $n$.
Kofaktor matriks $A$ adalah matriks
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{C}=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12}&\cdots &C_{1n} \\
C_{21} & C_{22}&\cdots &C_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
C_{n1} & C_{n2}& \cdots &C_{nn}
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
dimana $C_{ij}$ adalah kofaktor $ij$ matriks $A$, dengan $i=1,2,\cdots, n$ dan $j=1,2,\cdots, n$.
Tranpos matriks kofaktor $A$ dinamakan adjoin $A$, ditulis $adj(A)$, yakni
\begin{alignat*}{4}
adj(\mathbf{A})=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21}&\cdots &C_{n1} \\
C_{12} & C_{22}&\cdots &C_{n2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
C_{1n} & C_{2n}& \cdots &C_{nn}
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
CONTOH
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
2&2&6\\
4&4&3\\
0&-3&5
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Dapat dicari kofaktor-kofaktor matriks $\mathbf{A}$:
\[ C_{11}=29, \quad C_{12}=-20, \quad C_{13}=-12,\]
\[ C_{21}=-28, \quad C_{22}=10, \quad C_{23}=6, \]
\[ C_{31}=-18, \quad C_{32}=18, \quad C_{33}=0.\]
Dengan demikian
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{C}=
\begin{bmatrix}
29&-20&-12\\
-28&10&6\\
-18&18&0
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
dan
\begin{alignat*}{4}
adj(\mathbf{A})=
\begin{bmatrix}
29&-28&-18\\
-20&10&18\\
-12&6&0
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Adjoint dapat digunakan untuk mencari invers seperti dinyatakan dalam teorema berikut.
TEOREMA
Jika matriks $\mathbf{A}$ memiliki invers, maka
\[ \mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{det(\mathbf{A})}adj(\mathbf{A}). \]
CONTOH
Carilah invers matriks
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
1&-1&3\\
7&1&2\\
5&0&1
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
PENYELESAIAN
Kofaktor-kofaktor $\mathbf{A}$ adalah
\[ C_{11}=1, \quad C_{12}=3, \quad C_{13}=-5,\]
\[ C_{21}=1, \quad C_{22}=-14, \quad C_{23}=-5,\]
\[ C_{31}=-5, \quad C_{32}=19,\quad C_{33}=8
\]
Dengan demikian kofaktor $\mathbf{A}$ adalah
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{C}=
\begin{bmatrix}
1&3&-5\\
1&-14&-5\\
-5&19&8
\end{bmatrix},
\end{alignat*}
sehingga adjoin $\mathbf{A}$ adalah
\begin{alignat*}{4}
adj(\mathbf{A})=
\begin{bmatrix}
1&1&-5\\
3&-14&19\\
-5&-5&8
\end{bmatrix}.
\end{alignat*}
Determinan $\mathbf{A}$ dapat dihitung, misalnya dengan ekspasi Laplace baris ketiga,
\[ det(\mathbf{A})= 5\cdot C_{31}+ 0\cdot C_{32}+ 1 \cdot C_{33} =
5\cdot (-5)+ 0\cdot 19+ 1 \cdot 8=-17.
\]
Akhirnya invers $adj(\mathbf{A})$ dapat diperoleh
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}^{-1}= \frac{1}{det(\mathbf{A})}adj(\mathbf{A})
=\frac{1}{-17}
\begin{bmatrix}
1&1&-5\\
3&-14&19\\
-5&-5&8
\end{bmatrix}
=
adj(\mathbf{A})=
\begin{bmatrix}
\frac{-1}{17}&\frac{-1}{17}&\frac{5}{17}\\
\frac{-3}{17}&\frac{14}{17}&\frac{-19}{17}\\
\frac{5}{17}&\frac{5}{17}&\frac{-8}{17}
\end{bmatrix}.
\end{alignat*}
TEOREMA
Pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
- Matriks $\mathbf{A}$ memiliki invers
- Sistem persamaan linear $AX=B$ konsisten (memiliki penyelesaian) dan tunggal
- $det(\mathbf{A})\neq 0$.
CONTOH
Apakah sistem persamaan linear berikut memiliki penyelesaian?
\begin{alignat*}{3}
2x_1+x_2+x_3=3\\
x_1-x_2-x_3=5\\
3x_1+2x_2=1
\end{alignat*}
PENYELESAIAN
Matriks koefisien sistem persamaan linear tersebut adalah
\begin{alignat*}{3}
\mathbf{A}&=
\begin{bmatrix}
2&1&1\\
1&-1&-1\\
3&2&0
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Determinannya adalah
\[ det(\mathbf{A})= 2\cdot(-1)\cdot 0 + 1\cdot (-1)\cdot 3+1\cdot 1 \cdot 2
-1\cdot (-1)\cdot 3 - 1\cdot 1\cdot 0 - 2\cdot (-1) \cdot 2=6.
\]
Karena $det(\mathbf{A})\neq 0$ maka berdasarkan teorema di atas, sistem persaman tersebut memiliki penyelesaian tunggal.