Matriks
Matriks $m \times n$ adalah suatu susunan bilangan
yang terdiri atas $m$ baris dan $n$ kolom berbentuk
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots& \vdots&&\vdots \\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{bmatrix}
\label{defmatrix}
\end{equation}
Di dalam (\ref{defmatrix}), $a_{ij}$ dinanakan entri baris $i$ kolom $j$,
dan $m \times n$ dinamakan ukuran matriks.
Matriks sering dinyatakan dengan abjad kapital seperti $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$, dan sebagainya.
Kadang-kadang matriks dituliskan dengan menyertakan ukurannya, misalnya $\mathbf{A}_{m\times n}$ menyatakan
matriks $\mathbf{A}$ dengan ukuran $m\times n$.
CONTOH.
Matriks
\begin{alignat*}{4}
&
\mathbf{A}=
&
\begin{bmatrix}
3&-2&0&\frac{1}{3}\\
0&17&-9&5\\
-3&-6&1&8 \\
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
memiliki $3$ baris dan $4$ kolom, oleh karena itu matriks $A$ mempunyai ukuran $3 \times 4$,
juga biasa dituliskan $\mathbf{A}_{3 \times 4}$.
OPERASI JUMLAHAN MATRIKS.
Diketahui matriks $A$ dan $B$ sebagai berikut:
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}&=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots& \vdots&&\vdots \\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{bmatrix}
\qquad
&\mathbf{B}&=
\begin{bmatrix}
b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\
b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\
\vdots& \vdots&&\vdots \\
b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Jumlah $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ ditulis $\mathbf{A}+\mathbf{B}$, adalah matriks yang entri-entrinya $a_{ij}+b_{ij}$, yakni
\begin{equation}
\mathbf{A}+\mathbf{B}=
\begin{bmatrix}
a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\
a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\
\vdots& \vdots&&\vdots \\
a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}
\end{bmatrix}
\label{summatrix}
\end{equation}
CONTOH.
Diketahui matriks berikut,
\begin{alignat*}{3}
\mathbf{A}&=
\begin{bmatrix}
3&-2&1\\
0&6&1\\
-4&2&12
\end{bmatrix}
\qquad
&\mathbf{B}&=
\begin{bmatrix}
7&1&2\\
5&0&6\\
-2&10&13
\end{bmatrix}
.
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}+\mathbf{B}=
\begin{bmatrix}
3+7&-2+1&1+2\\
0+5&6+0&1+6\\
-4+(-2)&2+10&12+13
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
10&-1&3\\
5&6&7\\
-6&12&25
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Diketahui matriks
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}&=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots& \vdots&&\vdots \\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Perkalian bilangan $k$ dengan matriks $A$ dituliskan $kA$, adalah matriks yang entri-entrinya adalah $ka_{ij}$, yakni
\begin{equation}
k\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\
ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\
\vdots& \vdots&&\vdots \\
ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}
\end{bmatrix}
\label{skalarmatrix}
\end{equation}
CONTOH.
Diketahui matriks berikut,
\begin{alignat*}{3}
\mathbf{A}&=
\begin{bmatrix}
1/2&-2&1&4\\
-3&2/3&6&-2\\
9&-1&2&-1/5
\end{bmatrix}
.
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{3}
3\mathbf{A}&=
\begin{bmatrix}
3\cdot 1/2&3\cdot (-2)&3\cdot 1&3\cdot 4\\
3\cdot (-3)&3\cdot 2/3&3\cdot 6&3\cdot (-2)\\
3\cdot 9&3\cdot (-1)&3\cdot 2&3\cdot (-1/5)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3/2&-6&3&12\\
-9&2&18&-6\\
27&-3&6&-3/5
\end{bmatrix}
.
\end{alignat*}
Notasi $-\mathbf{A}$ berarti $(-1)\mathbf{A}$. Oleh karena itu
berdasarkan definisi perkalian bilangan dengan matriks,
\begin{equation*}
-\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\
-a_{21}&-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\
\vdots& \vdots&&\vdots \\
-a_{m1}&-a_{m2}&\cdots&-a_{mn}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Dengan demikian,
\[ \mathbf{A}-\mathbf{B} = \mathbf{A}+(-1)\mathbf{B}.\]
CONTOH.
Diketahui
\begin{alignat*}{3}
\mathbf{A}&=
\begin{bmatrix}
3&-2&1&4\\
9&-1&2&5
\end{bmatrix}
\qquad \text{dan}\qquad
\mathbf{B}&=
\begin{bmatrix}
1&1&-2&4\\
3&3&2&-5
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{3}
\mathbf{A}-\mathbf{B}&=
\begin{bmatrix}
3-1&-2-1&1-(-2)&4-4\\
9-3&-1-3&2-2&5-(-5)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2&-3&3&0\\
6&-4&0&10
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
CONTOH.
Diketahui
\begin{alignat*}{3}
\mathbf{A}&=
\begin{bmatrix}
2&1&4\\
-1&-3&7
\end{bmatrix}
\qquad \text{dan}\qquad
\mathbf{B}&=
\begin{bmatrix}
-2&1&3\\
1&1&-3
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{3}
2\mathbf{A}-5\mathbf{B}&=
\begin{bmatrix}
4&2&8\\
-2&-6&14
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
-10&5&15\\
5&5&-15
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14&-3&-7\\
-7&-11&29
\end{bmatrix}
.
\end{alignat*}
Perkalian matriks
Diketahui matriks $A$ berukuran $m \times r$ dan matriks $B$ berukuran $r \times n$,
yakni banyaknya kolom $A$ sama dengan banyaknya baris $B$.
Hasil kali $AB$ adalah suatu matriks $C$ yang berukuran $m\times n$ dengan entri baris $i$ kolom $j$ nya adalah
\begin{equation}
c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{ir}b_{rj}
\end{equation}
CONTOH.
Diketahui
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
0&3
\end{bmatrix}
\qquad
\mathbf{B}=
\begin{bmatrix}
4&5&8 \\
5&7&2
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Perkalian $\mathbf{AB}$ dapat diuraikan sebagai berikut:
Baris pertama $\mathbf{A}$ dikali kolom pertama $\mathbf{B}$:
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{AB}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
\bigcirc& \bigcirc
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4&\bigcirc&\bigcirc \\
5&\bigcirc&\bigcirc
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\cdot 4+2\cdot 5&\bigcirc&\bigcirc \\
\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14&\bigcirc&\bigcirc \\
\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Baris pertama $\mathbf{A}$ dikali kolom kedua $\mathbf{B}$:
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{AB}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
\bigcirc& \bigcirc
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\bigcirc&5&\bigcirc \\
\bigcirc&7&\bigcirc
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14&1\cdot 5+2\cdot 7&\bigcirc \\
\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14&19&\bigcirc \\
\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Baris pertama $\mathbf{A}$ dikali kolom ketiga $\mathbf{B}$:
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{AB}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
\bigcirc& \bigcirc
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\bigcirc&\bigcirc&8 \\
\bigcirc&\bigcirc&2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14&19&1\cdot 8+2\cdot 2 \\
\bigcirc&\bigcirc& \bigcirc
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14&19&12 \\
\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Baris kedua $\mathbf{A}$ dikali kolom pertama $\mathbf{B}$:
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{AB}=
\begin{bmatrix}
\bigcirc& \bigcirc \\
0& 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4&\bigcirc&\bigcirc \\
5&\bigcirc&\bigcirc
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14&19&12 \\
0\cdot 4+3\cdot 5&\bigcirc& \bigcirc
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14&19&12 \\
15&\bigcirc&\bigcirc
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Proses dilanjutkan dengan perkalian baris kedua $\mathbf{A}$ dengan kolom kedua $\mathbf{B}$, dan perkalian baris kedua $\mathbf{A}$ dengan kolom ketiga $\mathbf{B}$.
Hasil akhir perkalian matriks ini adalah
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{AB}=
\begin{bmatrix}
14 & 19&12 \\
15&21&6
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
CONTOH.
Diketahui
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
1 &1 \\
0&1 \\
1&0
\end{bmatrix}
\qquad
\mathbf{B}=
\begin{bmatrix}
4&6&8&2 \\
5&7&9&3
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Hasil kali $\mathbf{AB}$ adalah
\begin{alignat*}{4}
\mathbf{AB}=
\begin{bmatrix}
1\cdot 4+1 \cdot 5 &1 \cdot 6+1 \cdot 7& 1 \cdot 8 + 1 \cdot 9&1 \cdot 2+1 \cdot 3 \\
0\cdot 4+1 \cdot 5&0 \cdot 6+1 \cdot 7& 0 \cdot 8+1 \cdot 9& 0 \cdot 2+1 \cdot 3 \\
1 \cdot 4+0 \cdot 5&1 \cdot 6+0\cdot 7&1 \cdot8+0\cdot9&1\cdot2+0\cdot3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
9&13&17&5 \\
5&7&9&3 \\
4&6&8&2
\end{bmatrix}
\end{alignat*}
Sedangkan perkalian $\mathbf{BA}$ tidak terdefinisi, sebab banyaknya kolom $\mathbf{B}$
tidak sama dengan banyaknya baris $\mathbf{A}$.