Pengertian Fungsi

Untuk memperkenalkan pengertian fungsi akan dikerjakan melalui contoh berikut.

Contoh 1

Perhatikan gambar disamping. Pada gambar tersebut:

$A$ menyatakan himpunan yang anggotanya orang-orang.
$B$ menyatakan kumpulan angka-angka yang menyatakan usia.
Perhatikan bahwa setiap orang dihubungkan dengan hanya satu usia, yakni setiap anggota $A$ dihubungkan dengan satu anggota $B$.
Setiap orang memiliki usia, yakni tidak ada anggota $A$ yang tidak dihubungkan dengan anggota $B$.

Di dalam matematika, "aturan" yang menghubungkan himpunan $A$ dan $B$ seperti di atas dinamakan fungsi.

Diketahui $A$ dan $B$ himpunan. Fungsi dari $A$ ke $B$, dituliskan \[f: A \to B,\] adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap anggota $A$ dengan satu anggota $B$. Notasi $f(a)=b$ menyatakan bahwa $a \in A$ dihubungkan dengan $b \in B$.

Notasi \[ f(a)=b \quad \text{atau} \quad a \to b \] dibaca nilai $f$ di $a$ adalah $b$ atau peta $a$ adalah $b$ atau prapeta $b$ adalah $a$. Istilah lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Pada definisi fungsi di atas,

Himpunan $A$ dinamakan domain atau daerah definisi fungsi.
$B$ dinamakan kodomain fungsi.
Himpunan semua nilai fungsi dinamakan range fungsi.

Contoh 2

Pada contoh 1 di atas,

$f(Ali)=20 = f(Budi)=20, \quad f(Ahmad)=18,\quad f(Umar)=19$
Domain $f$ = $\{Ali, \; Ahmad, \; Budi,\; Umar\}$
Kodomain $f$ =$\{17,\; 18,\; 19,\; 20 \}$.
Range $f$ = $\{18,\; 19,\; 20 \}$.

Notasi lain untuk fungsi misalnya $g, h,$ dan sebagainya. Aturan fungsi sering dinyatakan dalam bentuk rumus atau formula.

Contoh 3

Diberikan fungsi $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ yang menghubungkan setiap integer dengan kuadratnya. Dengan demikian fungsi $f$ dapat dituliskan dalam bentuk rumus \[ f(x)=x^2.\] Domain dan kodomain fungsi ini adalah semua bilangan integer $\mathbb{Z}$. Nilai-nilai fungsi ini misalnya adalah \[ \begin{array}{ll} f(-2)&=(-2)^2=4\\ f(-1)&=(-1)^2=1\\ f(0)&=0^2=0\\ f(1)&=1^2=1\\ f(2)&=2^2=4\\ f(5)&=5^2=25\\ \end{array} \] Range $f$ adalah kuadrat semua bilangan integer, yaitu $\{0,1,4,9,16, \cdots\}$.

Diberikan fungsi $f:A \to B$ dan $S \subset A$. Peta $S$ dituliskan $f(S)$ didefinisikan \[ f(S)=\{y: y=f(x), x \in S\}\] Berdasarkan definisi ini, range $f$ adalah $f(A)$.

Contoh 4

Diberikan fungsi $f(n)=2n+1$ dengan domain $\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Jika $S=\{2,4,6\}$, carilah $f(S)$.

Penyelesaian

Karena $f(2)=5, f(4)=9$ dan $f(6)=13$ maka \[ f(S)=\{5,9,13\}.\]

Suatu fungsi dinamakan fungsi bernilai real jika kodomainnya adalah himpunan bilangan real, dan dinamakan fungsi bernilai integer jika kodomainnya adalah himpunan integer.

Diketahui $f$ dan $g$ masing-masing fungsi dari $A$ ke $B$. Jumlah fungsi $f+g$ dan hasil kali fungsi $fg$ adalah fungsi dengan aturan sebagai berikut, \begin{array}{rll} (f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\ (fg)(x)&=f(x)(g(x). \end{array}

Contoh 5

Diberikan fungsi $f$ dan $g$ dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$ dengan aturan \[ f(x)=x^2 \quad \text{dan} \quad g(x)=2x.\] Bagaimanakah bentuk fungsi $f+g$ dan $fg$. Carilah $(f+g)(3)$ dan $(fg)(-1)$.

Penyelesaian

Berdasarkan definisi jumah dan hasil kali fungsi, \[ (f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2x,\] dan \[ (fg)(x)=f(x)g(x)=x^2\cdot 2x =2x^3.\] \[ (f+g)(3)=3^2+2\cdot 3 =15 \quad \text{dan} \quad (fg)(-1)=2(-1)^3=-2.\]

Grafik Fungsi

Jika $f$ fungsi dari $A$ ke $B$, maka untuk setiap $a \in A$ terdapat $b\in B$ sehingga $b=f(a)$. Dengan demikian dapat dibentuk pasangan terurut $(a, b)$ dimana $b=f(a)$.

Grafik fungsi $f:A \to B$ adalah himpunan semua pasangan terurut \[ \{(a,b): a \in A \text{ dan } b=f(a)\}.\]

Setiap pasangan terurut bilangan real $(a,b)$ dapat direpresentasikan sebagai suatu titik di bidang $xy$. Oleh karena itu grafik fungsi dapat direpresentasikan atau digambarkan secara visual pada bidang $xy$.

Contoh 1

Gambarkan grafik $f(x)=x^3$ dengan domain $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3 \}$.

Penyelesaian

Nilai-nilai fungsi ini adalah \begin{eqnarray} f(-3)&=&-27, \\ f(-2)&=&-8, \\ f(-1)&=&-1, \\ f(0)&=&0,\\ f(1)&=&1, \\ f(2)&=&8, \\ f(3)&=&27. \end{eqnarray}

Dengan demikian grafiknya adalah himpunan pasangan terurut \[ (-3,-27),\; (-2,08),\; (-1,-1), (0,0),\; (1,1),\; (2,8),\; (3,27). \] Gambar grafik fungsi tersebut berupa kumpulan titik-titik yang diperoleh dengan membuat plot semua pasangan terurut tersebut di bidang $xy$ (gambar disamping).

Contoh 2

Gambarkan grafik fungsi $f(x)=x^3$ dengan domain $A=\{x: -3 \le x \le 3\}$.

Penyelesaian

Domainya fungsi ini berupa interval bilangan sehingga ada tak hingga banyaknya bilangan pada interval tersebut. Untuk menggambarkan grafik fungsi ini dibuat sebanyak mungkin pasangan terurut $(x, f(x)$ dimana $-3\le x \le 3$. Gambar disamping merupakan hasil plot titik-titik tersebut.

Fungsi komposisi

Diketahui fungsi-fungsi $f:A \to B$ dan $g:B \to C$. Range $f$ merupakan himpunan bagian $B$. Jika domain $g$ batasi pada range $f$, maka setiap $a$ anggota $A$ oleh $f$ dipetakan ke $b=f(a)$ dan $b$ oleh $g$ dipetakan ke $g(b)=g(f(a))$ (lihat gambar di samping).

Diketahui fungsi $f:A \to B$ dan $g:B \to C$. Fungsi komposisi $f$ dan $g$ dituliskan $g \circ f$, didefinisikan \begin{equation} g \circ f (a) = g(f(a)), \quad a \in A \end{equation}

Contoh 1

Diketahui $A=\{1,2,3\}$, $B=\{a,b,c,d\}$ dan $C=\{1,0\}$. Fungsi $f:A \to B$ dengan \[ f(1)=a, \; f(2)=c,\; f(3)=b.\] Fungsi $g:B \to C$ dengan \[ g(a)=1,\; g(b)=0,\; g(c)=0,\; g(d)=1.\] Carilah $g \circ f$.

Penyelesaian

\[ \begin{array}{ll} g\circ f (1)&=g(f(1))=g(a)=1\\ g\circ f (2)&=g(f(2))=g(c)=0\\ g\circ f (3)&=g(f(3))=g(b)=0. \end{array} \]

Dengan argumen seperti diatas, komposisi fungsi $g$ dan $f$ didefinisikan \[ f \circ g (b) = f(g(b)), \quad b \in B\]

Contoh 2

Diketahui $f(x)=x^2$ dan $g(x)=x+1$. Carilah

$g \circ f(3)$
$f \circ g(-2)$
$g \circ f(x)$
$f \circ g(x)$

Penyelesaian

$g \circ f(3)=g(f(3))=g(3^2)=g(9)=9+1=10$.
$f \circ g(-2)=f(g(-2))=f(-2+1)=f(-1)=1$.
$g \circ f (x) = g(f(x))=g(x^2)=x^2+1$.
$f \circ g (x) = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1$.

Fungsi injektif

Fungsi $f:A \to B$ dikatakan bernilai tunggal atau injektif jika peta dua anggota $A$ yang berbeda adalah berbeda, yakni \begin{equation} a \neq b \quad \implies \quad f(a) \neq f(b). \end{equation}

Definisi fungsi injektif juga dapat dinyatakan dengan \begin{equation} f(a) = f(b) \quad \implies \quad a = b. \end{equation}

Contoh

Diberikan $A=\{a,b,c,d\}$ dan $B=\{1,2,3,4,5\}$ dan $f:A \to B$ dengan \[ f(a)=2, f(b)=1, f(c)=5, f(d)=3.\] Apakah fungsi tersebut injektif?

Penyelesaian
Fungsi tersebut injektif, karena setiap dua anggota $A$ yang berbeda, petanya berbeda. Fungsi ini diilustrasikan pada gambar disamping.

Contoh

Diketahui $f(x)=x^2$ dengan domain $\{-1,0,1,2\}$. Apakah fungsi ini injektif ?

Penyelesaian

Fungsi ini tidak injektif, karena ada dua anggota domain yang petanya sama, yaitu $-1$ dan $1$, \[ \begin{array}{ll} f(-1)&=(-1)^2=1,\\ f(1)&=1^2=1. \end{array} \] Fungsi ini diilustrasikan pada gambar disamping.

Contoh

Apakah fungsi $f(x)=2x-7$ injektif?

Penyelesaian

Dimisalkan $f(x_1) = f(x_2)$. Ini berarti \begin{eqnarray} &2x_1-7 &= 2x_2 - 7\\ \Longleftrightarrow &2x_1&=2x_2\\ \Longleftrightarrow &x_1&=x_2 \end{eqnarray} Karena $f(x_1) = f(x_2)$ berakibat $x_1=x_2$, maka $f$ merupakan fungsi injektif.

Fungsi surjektif

Fungsi $f:A \to B$ dikatakan fungsi surjektif jika range $f$ sama dengan kodomain, yaitu \[ range\; f = B.\]

Jadi $f$ surjektif jika setiap anggota $B$ merupakan peta anggota $A$, dengan kata lain \[ f \text{ surjektif, jika } \forall b \in B( \exists a \in A, \; f(a)=b). \]

Contoh

Diberikan $A=\{a,b,c,d\}$ dan $B=\{0,1,2\}$ dan $f:A \to B$ dengan \[ f(a)=1, f(b)=1, f(c)=0, f(d)=2.\] Apakah fungsi tersebut surjektif?

Penyelesaian

Fungsi tersebut surjektif, karena setiap anggota $B$ merupakan peta suatu anggota $A$.

Contoh

Diberikan $A=\{a,b,c,d\}$ dan $B=\{0,1,2,3\}$ dan $f:A \to B$ dengan \[ f(a)=2, f(b)=3, f(c)=0, f(d)=3.\] Apakah fungsi tersebut surjektif?

Penyelesaian

Fungsi tersebut tidak surjektif, sebab ada anggota kodomain, yaitu $1$, yang bukan peta $f$

Contoh

Diberikan fungsi $f:\mathbb{R} \to [3,\infty)$ dengan $f(x)=x^2+3$. Apakah $f$ fungsi surjektif?

Penyelesaian

Perhatikan bahwa kodomainnya adalah semua bilangan real lebih besar atau sama dengan $3$. Jika $y\ge 3$ maka ada bilangan real $x$ sehingga \[x=\sqrt{y-3}, \] yang berarti $f$ surjektif.

Fungsi bijektif

Fungsi yang injektif dan surjektif dinamakan korespondensi satu-satu atau bijektif.

Contoh

Gambar disamping merupakan korespondensi satu-satu. Perhatikan bahwa fungsi tersebut setiap dua anggota domain yang berbeda petanya perbeda (injektif) dan setiap anggota kodomain merupakan peta dari suatu anggota domain (surjektif).

Contoh

Diberikan $f $ fungsi dari $\{0,1,2,3,\cdots\}$ ke $\{1,3,5,7,\cdots\}$ dengan $f(n)=2n+1$. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut bijektif.

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahwa fungsi tersebut bijektif, harus ditunjukkan bahwa fungsi tersebut injektif dan surjektif. Akan ditunjukkan fungsi tersebut injektif. Dimisalkan $f(n)=f(m)$, yang berarti \[ 2n+1=2m+1.\] Tambahkan kedua ruas dengan $-1$ menghasilkan $2n=2m$ dan selanjutnya berakibat $n=m$. Dengan demikian $f$ injektif.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa fungsi tersebut surjektif. Diambil sebarang bilanga $m$ di kodomainnya. Karena kodomainnya terdiri dari bilangan ganjil positif, maka $m$ dapat dituliskan dengan $m=2n+1$ dengan $n$ bilangan bulat tak negatif. Ini berarti setiap bilangan $m$ di kodomain memiliki prapeta bilangan $2n+1$ di domain fungsi. Dengan demikian $f$ surjektif.

Fungsi invers

Diketahui $f$ fungsi bijektif dengan domain $A$ dan kodomain $B$. Karena $f$ surjektif, maka setiap anggota $B$ memiliki prapeta di $A$. Lebih lanjut karena fungsi ini injektif maka setiap anggota $B$ memiliki hanya satu prapeta. Dengan demikian pada fungsi bijektif dapat dibentuk fungsi yang memetakan setiap anggota $B$ ke anggota $A$, selanjutnya fungsi ini dinamakan fungsi invers dan dituliskan $f^{-1}$.

Diketahui $f:A \to B$ fungsi bijektif. Fungsi invers $f$ adalah fungsi $f^{-1}:B \to A$ dengan \[ f^{-1}(b)=a \quad \text{jika dan hanya jika}\quad f(a)=b. \]

Contoh

Diketahui $f(x)=x+1$ dengan domain $\mathbb{Z}$. Carilah fungsi inversnya!

Penyelesaian

Dimisalkan peta $x$ adalah $y$, yakni $f(x)=y$. Ini berarti \[ x+1=y,\] Jika dipecahkan untuk $x$ maka diperoleh \[x=y-1, \] sehingga invers $f$ adalah \[f^{-1}(y)=y-1.\]

Contoh

Carilah fungsi invers dari $f(x)=x^2-3$ jika domainnya adalah $D=\{x:x \geq -3\}$.

Penyelesaian

Dimisalkan \[y=x^2-3,\] dengan memecahkan $x$ diperoleh \[x=\sqrt{y+3}, \] sehingga inversnya adalah \[f^{-1}(y)=\sqrt{y+3}. \]

Fungsi identitas

Diketahui $f$ fungsi bijektif dari $A$ ke $B$. Dengan demikian $B$ merupakan domain $f^{-1}$. Selanjutnya dapat didefinisikan fungsi komposisi dari $A$ ke $B$ kemudian ke $A$ dengan cara sebagai berikut \[ h=f^{-1}\circ f .\] Jika $a \in A$ dan $f(a)=b$, maka $f^{-1}(b)=a$. Akibatnya \[ h(a)=f^{-1}(f(a))=f^{-1}(b)=a \] dengan kata lain $h=f^{-1}\circ f $ adalah fungsi dari $A$ ke $A$ yang memetakan $a$ ke $a$. Fungsi demikian dinamakan fungsi identitas dan dituliskan $1_A$,

\[ 1_A(x) = x \]

Demikian pula untuk setiap $b \in B$ berlaku \begin{equation} f(f^{-1}(b))=b \end{equation} yang berarti $f\circ f^{-1}$ adalah fungsi identitas $1_B$.

Contoh

Telah ditunjukkan pada contoh sebelumnya, fungsi $f(x)=x+1$ invernya adalah $f^{-1}(y)=y-1$. Oleh karena itu \[ f^{-1}(f(a)=f^{-1}(a+1)=a,\] dan \[ f(f^{-1}(b))=f(b+1)=b.\]

Contoh

Dengan menggunakan contoh sebelumnya, fungsi invers dari $f(x)=x^2-3$ adalah $f^{-1}(y)=\sqrt{y+3}$. Dengan demikian berlaku \[f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x^2-3)=\sqrt{x^2-3+3}=\sqrt{x^2}=x.\] dan \[f(f^{-1}(y))=f(\sqrt{y+3})=(\sqrt{y+3})^2-3=y+3-3=y. \]

Fungsi floor dan ceiling

Salah satu fungsi penting di dalam matematika diskrit adalah fungsi floor dan fungsi ceiling. Fungsi dasar dan fungsi plafon berturut-turut dituliskan dengan $\lfloor \cdot \rfloor$ dan $\lceil \cdot \rceil$ adalah fungsi dengan domain bilangan real.

Untuk setiap bilangan real $x$ didefinisikan \begin{eqnarray} \lfloor x \rfloor &= \text{ integer terbesar yang lebih kecil atau sama dengan } x\\ \lceil x \rceil &= \text{ integer terkecil yang lebi besar atau sama dengan } x. \end{eqnarray}

Contoh

\begin{eqnarray} \left\lfloor \frac{5}{4} \right\rfloor = 1, \quad \left\lceil \frac{5}{4} \right\rceil = 2, \quad \left\lfloor -\frac{1}{2} \right\rfloor = -1, \quad \left\lceil -\frac{1}{2} \right\rceil=0, \\ \left\lfloor 5.3 \right\rfloor = 5, \quad \left\lceil 3.2 \right\rceil=4, \quad \left\lfloor 4 \right\rfloor = 4, \quad \left\lceil 4 \right\rceil =4\\ \left\lfloor 7.3 \right\rfloor = 7, \quad \left\lceil 7.3 \right\rceil=8, \quad \left\lfloor 7.9 \right\rfloor = 7, \quad \left\lceil 7.9 \right\rceil =8. \end{eqnarray}

Secara umum, nilai fungsi dasar dan plafon dapat dicari dengan pedoman berikut dengan $n$ integer dan $x$ bilangan real.

$\lfloor x \rfloor = n$ jika dan hanya jika $ n \le x < n+1$
$ \lceil x \rceil =n$ jika dan hanya jika $ n-1 < x \le n$.