Variabel Random

Dalam suatu eksperimen random dapat terjadi peneliti tidak tertarik pada outcomenya tetapi barangkali lebih tertarik pada nilai numerik yang berkaitan dengan outcome tersebut. Misalnya dalam percobaan melontarkan tiga mata uang, mungkin peneliti lebih tertarik untuk mengamati banyaknya suatu sisi terjadi dari pada mengamati sisi apa saja yang menghadap ke atas. Variabel random $X$ dinamakan diskrit jika nilai variabel random tersebut terhitung, yakni banyaknya nilai berhingga atau dapat dituliskan sebagai \[x_1, x_2, x_3, \cdots.\] Pada Contoh 1, $X$ merupakan variabel random diskrit.

Fungsi Peluang

Perhatikan bahwa nilai $P(X=x)$ tergantung pada $x$, yakni peluang variabel random $X$ bergantung pada nilai $x$, dengan kata lain $P(X=x)$ merupakan fungsi dari $x$. Diberikan ruang sampel $S$ dan $X$ variabel random diskrit pada $S$ dengan nilai-nilai $x_1, x_2, \cdots$. Karena $S$ merupakan union semua peristiwa elementer, maka \begin{equation} \label{psatu} \sum_{i=1}^{\infty} f(x_i)= \sum_{i=1}^{\infty} P(X=x_i)= P(S)=1. \end{equation} Sebagai ilustrasi persamaan (\ref{psatu}), dapat Anda periksa pada Contoh 5, \[ \sum_{i=1}^3 f(x_i)=f(0)+f(1)+f(2)=1,\] pada Contoh 7 \[ \sum_{i=1}^4 f(x_i)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=1,\] dan pada Contoh 7 \[ \sum_{i=1}^{11} f(x_i)=f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(11)=1.\]

Nilai Harapan Variabel Random Diskrit

Nilai harapan suatu variabel random menggambarkan nilai yang diharapkan akan terjadi dari suatu eksperimen random atau kecenderungan hasil yang akan terjadi.

Bukti

1. Berdasarkan definisi nilai harapan dengan $x_i=c$ untuk setiap $i$, \begin{eqnarray*} E(c)&=&\sum_{i=1}^{\infty} x_i f(=x_i)\\ &=& \sum_{i=1}^{\infty} c f(x_i)\\ &=&c\sum_{i=1}^{\infty} f(x_i)\\ &=&c\cdot 1 = c. \end{eqnarray*}
2. Jika $c$ konstan maka \begin{eqnarray*} E(cX)&=&\sum_{i=1}^{\infty} cx_i f(x_i)\\ &=&c\sum_{i=1}^{\infty} x f(x_i)\\ &=&cE(X). \end{eqnarray*}
3. Dengan mengganti $X$ dengan $X+cX$ pada definisi $E(X)$, \begin{eqnarray*} E(X+cX)&=&\sum_{i=1}^{\infty} (x_i+cx_i) f(x_i)\\ &=& \sum_{i=1}^{\infty} x_i f(x_i) + \sum_{i=1}^{\infty} cx_i f(x_i)\\ &=&E(X)+cE(X)\\ \end{eqnarray*}

Diketahui variabel random $X$ memiliki nilai harapan $\mu$. Selisih $X-\mu$ merupakan deviasi $X$ terhadap nilai harapannya. Ukuran yang menggambarkan variabilitas suatu variabel random didefinisikan berikut. Berdasarkan definisi di atas, $Var(X)$ merupakan nilai harapan kuadrat deviasi $X-\mu$; dengan demikian $Var(X) \geq 0$. Semakin besar varian suatu variabel random, semakin basar variabilitasnya. Nilai varian suatu variabel random adalah $0$ jika dan hanya jika variabel random tersebut nilainya tetap.

Bukti

\begin{eqnarray*} Var(X)&=&E((X-\mu)^2)\\ &=&E(X^2-2X\mu +\mu^2)\\ &=&E(X^2)-2\mu E(X)+E(\mu^2)\\ &=&E(X^2)-2\mu^2+\mu^2\\ &=&E(X^2)-\mu^2. \end{eqnarray*}

Distribusi Bernoulli dan Binomial

Distribusi Bernoulli merupakan distribusi yang digunakan untuk memodelkan eksperimen random yang hanya memiliki dua hasil yang mungkin. Hasil pertama dinamakan sukses, dituliskan dengan $1$, dan hasil kedua dinamakan \textbf{ gagal}, dituliskan dengan $0$. Jika peluang sukses adalah $p$ maka peluang gagal $1-p$. Misalkan eksperimen Bernounlli diulang secara independen sebanyak $n$ percobaan (trial). Variabel random $X$ menyatakan banyaknya sukses dari $n$ percobaan. Peluang $X=x$ diberikan oleh fungsi peluang berikut. Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa nilai harapan dan varians distribusi binomial adalah \begin{equation} \mu = np \quad \textnormal{dan} \quad \sigma^2=np(1-p) \end{equation} Di dalam fungsi peluang binomial \ref{defbinom}, notasi $\binom{n}{x}$ menyatakan kombinasi $x$ objek dari $n$ objek, yaitu \begin{equation} \binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}, \end{equation} dengan $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n$ dan $0!=1$.

Distribusi Hipergeometrik

Suatu kotak berisi $N$ bola merah dan $M$ bola biru. Suatu sampel berukuran $n$ diambil dalam kotak tersebut secara random tanpa pengembalian. Karena seluruhnya ada $N+M$ bola, maka ada $\binom{N+M}{n}$ sampel berukuran $n$. Banyaknya cara mengabil $i$ bola merah $\binom{N}{i}\binom{M}{n-i}$. Jika $X$ menyatakan banyaknya bola merah, maka \[ P(X=i)=\frac{\binom{N}{i}\binom{M}{n-i}}{\binom{N+M}{n}}.\] Disini simbol $min\{N,n\}$ berarti bilangan terkecil diantara $N$ dan $n$.

Distribusi Poisson

Variabel random berikutnya adalah variabel random yang nilai-nilainya $0,1,2,3,$ dan seterusnya. Perlu diingat kembali, di dalam (\ref{poisson}), $e=2.71828\cdots$, yaitu bilangan yang ditemukan oleh ahli matematika Swiss bernama L. Euluer, dan bilangan ini juga merupakan basis logaritma alami. Distribusi Poisson diperkenalkan oleh S.D. Poisson pada tahun 1837 yaitu ketia ia membahas penerapan probabilitas pada perkara hukum, tindakan kriminal dan yang semisal dengan itu.

Variabel Random Bersama

Di dalam suatu penelitian, peneliti sering tertarik pada dua variabel random atau lebih. Misalnya dalam meneliti tentang penyakit jantung, mungkin peneliti tertarik pada beberapa faktor penyebab seperti kebiasaan merokok dan konsumsi alkohol. Diketahui dua variabel random $X$ dan $Y$. Untuk menggabungkan kedua variabel dapat digunakan fungsi distribusi kumulatif. Misalkan nilai-nilai variabel random diskrit $X$ adalah $x_1,x_2, \cdots, x_m$ dan nilai-nilai variabel random diskrit $Y$ adalah $y_1, y_2, \cdots, y_n$. Peluang $X=x$ dituliskan $f_1(x)$, yaitu $P(X=x)=f_1(x)$. Variabel random $X$ dan $Y$ dikatakan independen jika berlaku \[P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y).\]